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Principios de la Mecánica de la Fractura

29 mayo 2012

NOTA: ARTÍCULO ACTUALIZADO Y COMPLEMENTADO EN:

www.ingenieriademateriales.com

Cabecera WEB 1

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La fractura frágil de materiales normalemente dúctiles ha puesto de manifiesto la necesidad de un mejor concocimiento de la mecánica de la fractura. Las extensas investigaciones realizadas en las pasadas décadas han conducido a la evolución del campo de mecánica de la fractura. El concocimeinto adquirido permite la cuantificación de la relación entre las propiedades de los materiales, los niveles de tensión, la presencia de defectos que producen grietas y los mecanismos de propagación de grietas. Los ingeniero están ahora mejor equipados para anticipar y, por tanto, prevenir las roturas de las estructuras y piezas. La presente discusión se centra en algunos de los principios fundamentales de la mecánica de la fractura.

Concentración de tensiones

La resistencia a la fractura de un material sólido es una función de las fuerzas cohesivas que existen entre los átomos. Sobre esta base, la resistencia cohesiva teórica de un sólido elástico frágil ha sido estimada y es aproximadamente igual a E/10, donde E es el módulo de elasticidad. La resistencia a la fractua experimental de la mayoría de materiales ingenieriles es entre 10 y 100 veces menor que este valor teórico. En la década de los veinte, A. A. Griffith propuso que esta discrepacia entre la resistencia cohesiva teórica y la experimental podía ser explicada por la presencia de grietas microscópicas, las cuales siempre existen en condiciones normales en la superficie e interior de una pieza. Estos defectos van en detrimento de la resistenca a la fractura debido a que una tensión aplicada puede ser aplificada ó concerntrada en los extremos de estos defectos, en un grado que depende de la orientación de la microgrieta y de la geometría. Este fenómeno se indica en la figura de abajo, donde se muestra el perfil de la tensión a través de la sección que contiene una grieta (ver también nuestro artículo sobre la Distribución de Tensiones en el Entorno de un Agujero)

Figura 1.- Geometría de una grieta tipo y perfil esquemático de la tensión a lo largo de los labios de la grieta.

Tal como se ilustra mediante este perfil, la magnitud de la tensión localizada disminuye con la distancia al borde ó punta de la grieta. En las posiciones muy alejadas, la tensión es exáctamente la tensión nominal aplicada. Debido a la capacidad para amplificar en sus alrededores a una tensión aplicada, estos defectos de denominan concentradores de tensión.

Si se supone que la grieta tiene una geometría elíptica y esta orientada con su eje mayor perpendicular a la carga aplicada, la tensión máxima en el extremo de la grieta puede ser aproximada por:

(Ec.1)

donde σ0 es la magnitud de la tensión nominal aplicada, ρt es el radio de curvatura de la punta de la grieta, y a representa la longitud de una grieta superficial, ó bien la mita de la longitud de una grieta interna. Así para una microgrieta relatívmanete larga que tiene un radio de curvatura pequeño, el factor (a/ρt)^1/2 puede ser muy grande. Esto dará un valor de σm mucho mayor que la aplicada σ0.

A menudo al cociente σm/σ0 se denomina factor de concentración de tensiones Kt.

(Ec.2)

Este factor es simplemente una medida del grado con que una carga externa es amplificada en el extremo de una grieta pequeña.

Como comentario adicional, se puede decir que la amplificación de la tensión no está restringida a estos defectos microscópicos; puede ocurrir en discontinuidades internas macroscópicas (por ejemplo, agujeros), en ángulos vivos y en entallas en grandes estructuras. Para estos casos se pueden ver las siguientes gráficas en función de la geometría de la pieza y del defecto:

Figura 2.- Curvas teóricas de los factores de concentración de tensiones para tres geometrías sencillas.

Además, el efecto de un concentrador de tensiones es más significativo en materiales frágiles que en materiales dúctiles. Para un material dúctil, cuando la tensión máxima supera el valor del límite elástico, las deformaciones son plásticas, lo que conduce a una redistribución de la carga más uniforme en los alrededores y al desarrollo de un factor de concentración de tensiones máximo que es menor que el valor teórico. Esta fluencia plástica del material y la redistribución de tensiones asociada no ocurre en absoluto alrededor de los defectos y discontinuidades en los materiales frágiles; por tanto la tensión resultante coincide con la teórica.

Griffith propuso que en todos los materiales frágiles existe una población de fisuras y defectos pequeños que tienen una variedad de tamaños, geometrías y orientaciones. Al aplicar un esfuerzo de tracción, la rotura ocurrirá cuando la resistencia cohesiva teórica del material sea superada en la punta de uno de los defectos. Esto conduce a la formación de una grieta que entonces se propagará más rapidamente. Si no existieran defectos, la resistencia a la fractura sería igual a la resistencia cohesiva del material. Filamentos metálicos y cerámicos muy pequeños llamados “whiskers”, crecidos prácticamente libres de defectos, tienen resistencias a la fractura que están próximas a sus valores teóricos.

Teoría de Griffith sobre la fractura frágil

Durante la propagación de una grieta se produce lo que se denomina liberación de energía de deformación elástica, o sea, parte de la energía que es almacenada en el material (Teoría de Clapeyron) cuando es deformado elásticamente. También se forman nuevas superficies en las caras de la grieta cuando ésta se extiende, lo cual origina un incremento en la energía superficial del sistema. Griffith desarrolló un criterio para la propagación de una grieta elíptica realizando un balance energético entre estas dos energías. Demostró que la tensión crítica que se requiere para propagar una grieta en un material frágil viene dada por

(Ec. 3)

Vale la pena señalar que en esta expresión no aparece el radio de curvatura de la punta de la grieta, ρt, al contrario de la ecuación de concentración de tensiones (Ec.1); sin embargo, se supone que el radio es suficientemene pequeño para aumentar la tensión local en el extremo de la grieta por encima de la resistencia cohesiva del material.

El desarrollo previo se aplica a materiales completemante frágiles para los cuales no hay deformación plastica. La mayoría de los metales y muchos polímeros experimientan alguna deformacón plástica antes de la fractura, esto produce un enromamiento del extremo de la grieta, o sea, un aumento en el radio del fondo de la grieta y, por consiguiente, aumenta la resitencia a la fractura. Matemáticamente, esto puede tenerse en cuenta reemplazando γs en la ecuación anterior por γs+γp, donde γp representa la enería de deformación plástica asociada con la extensión de la grieta. Para materiales muy dúctiles, puede ocurrir que γp>>γs.

En la década de 1950, G.R.Irwin propuso incorporar ambos términos en un único término, de manera que Β=2(γs+γp). A este nuevo término se le conoce como energía disponible para la fractura, o bien, tasa de liberación de energía elástica. La extensión de la grieta ocurre cuando B excede de un valor crítico Bc.

Análisis de tensiones en el entorno del fondo de una grieta

Al continuar explorando el desarrollo de la mecánica de la fractura, es importante examinar la distribución de tensiones en la vecindad del fondo de la grieta. Existen tres maneras fundamentales, o modos, mediante los cuales una carga puede actuar sobre una grieta, y cada uno produce desplazamientos diferentes en la superficie de la misma; estos modos estan ilustrados en la siguiente figura:

Fig.3.- Modos de carga de una grieta.

El modo I es una carga de apertura ó de tracción, mientras los modos II y III son modos de deslizamiento y de desgarre, respectivamente. El modo I es el que ocurre con mayor frecuencia y el único que será tratado en este módulo teórico de mecánica de la fractura.

Para la configuración del modo I, las tensiones que actúan sobre un elemento de material se muestran en la figura 4. Utilizando los principios de la teoría de la elasticidad, las tensiones de tracción σx, σy y de cortadura τxy , son funciones de la distancia radial r y del ángulo θ.

(Ec. 4, 5 y 6)

donde las funciones de theta son las siguientes:

Fig. 4.- Estado tensional en el entorno del fondo de una grieta.

Si la placa es delgada comparada con las dimensiones de la grieta, entonces σz=0 y se dice que exiten condiciones de tensión plana. En el otro extremo, en el caso en que la placa sea relatívamente gruesa, σz=ν(σx+σy) y el estado se denomina deformación plana (puesto que la deformación en z es nula). (ν representa el coeficiente de Poisson).

En las ecuaciones anteriores, K se denomina factor de intensidad de tensiones; determina la magnitud de la distribución de tensiones alrededor del fonde de la grieta. Debe notarse que ese factor de intensidad de tensiones y el factor de concentración de tensiones Kt, aunque similares, no son equivalentes.

El valor del factor de intensidad de tensiones es una función de la tensión aplicada, el tamaño y la posición de la grieta, así como de la geometría de la pieza sólida en la cual esta localizada la grieta.

Tenacidad a la fractura

En la exposición anterior se desarrolló un criterio para la propagación de una grieta en un material frágil que contiene un defecto; la fractura ocurre cuando el nivel de tensión aplicada excede un valor crítico σc (Ec.3). Análogamente, puesto que las tensiones en el entorno del fondo de la grieta quedan definidas en términos del factor de intensidad de tensiones, debe existir un valor c´ritico de este parámetro, el cual puede utilizarse para especificar las condiciones de fractura frágil; este valor crítico se denomina tenacidad a la fractura, Kc. En general, puede ser expresado en la forma:

(Ec.7)

donde Y es un parámetro sin dimensiones que depende de la geometría de la pieza y de la grieta. Por ejemplo, para placa plana de anchura infinita Y=1,0; ó bien, para una placa plana de anchura semiinfinita que contiene una grieta en el borde de longitud a, Y=1,1. Ver siguiente figura:

Fig.5.- Tipos de grietas según al geometría del problema.

Por definición, la tenacidad a la fractura es una propiedad que es una medida de la resistencia del material a la fratura frágil cuando una grieta está presente. Debe norarse que la tenacidad de fractura tiene las unidades inusuales de MPa·m^1/2.

Para probetas relativamente delgadas, el valor Kc dependerá del espesor de las probetas, B, y disminuirá al aumentar éste, tal como está indicado en la figura de abajo. Eventualmente, Kc se hace independiente de B, cuando existen condiciones de deformación plana. El valor de la constante Kc para probetas más gruesas se denomina tenacidad a la fractura en deformación plana K1c, la cual también se define mediante:

(Ec. 8)

Fig. 6.- Influencia del espesor de la placa sobre la tenacidad a la fractura.

Esta es la tenacidad a la fractura normalmente citada puesto que su valor es siempre inferior a Kc. El subíndice 1 de K1c indica que este valor crítico de K es para el modo I de desplazamiento de la grieta. Los materiales frágiles, para los cuales no es posible que ocurra apreciable deformación plástica en frente de la grieta, tienen valores pequeños de K1c y son vulnerables a la rotura catastrófica. Además, los valores de K1c son relativamente grandes para materiales dúctiles. La mecánica de la fractura es especialmente útil para predecir la rotura catastrófica en materiales que tienen ductilidades intermedias. Las tenacidades a la fractura en deformación plana para diferentes materiales se presentan en la siguiente tabla:

Tabla 1.- Datos típicos para materiales normalmente empleados en ingeniería.

El factor de intensidad de tensiones K en las ecuaciones 4, 5 y 6 y la tenacidad a la fractura en deformación plana K1c están relacionados de una forma similar a como lo están las tensiones y el límite elástico. Un material puede estar sometido a muchos valores distintos de tensión; sin embargo, existe un nivel de tensión, es decir el límite elástico, bajo el cual el material se deforma plásticamente. De la misma manera, K puede tomar muchos valores, mientras que K1c es único para un material determinado.

Existen diferentes técnicas de ensayo para medir K1c. Virtualmente cualquier tamaño y forma de probeta consistente con desplazamiento en modo I puede ser utilizada, y se pueden obtener valores precisos con tal que el parámetro Y de la Ecuación 8 haya sido determinado correctamente.

La tenacidad de fractura en deformación plana K1c de un material es una propiedad fundamental que depende de muchos factores, entre los cuales los más influyentes son la temperatura, la velocidad de deformación y la microestructura. La magnitud de K1c disminuye al aumentar la velocidad de deformación y al disminuir la temperatura. Además, un aumento en el límite elástico mediante disolución sólida, por dispersión de una segunda fase, o por refuerzo por deformación, produce también una disminución correspondiente en K1c. Además, K1c normalmente aumenta con la reducción en el tamaño de grano siempre que las otras variables microestructurales se mantengan constantes.

El diseño basado en la mecánica de la fractura

De acuerdo con las ecuaciones 7 y 8, existen tres variables que deben ser consideradas con respecto a la posibilidad de fractura para un determinado componente estructural: la tenacidad a la fractura (Kc), la tensión aplicada (σ) y el tamaño del defecto (a), suponiendo desde luego que Y pueda ser determinado. Al diseñar un componente, es de vital importancia decidir cuáles de estas variables están determinadas por la apliación y cuales están sujetas al control del diseño. Por ejemplo, la selección del material (y por tanto Kc ó K1c) a menudo viene determianda por factores tales como la densidad (para aplicaciones donde el peso sea importante) ó las caracterísitcas del medio corrosivo. Alternativamente, el tamaño del defecto que se puede permitir es medido ó bien especificado por las limitaciones de las técnicas de detección de que se disponga. Es importante tener presente, sin embargo, que una vez definida cualquier combinación de dos de estos parámetros, el tercero queda fijado mediante las ecuaciones 7 y 8. Por ejemplo, supongamos que K1c y la magnitud a están especificadas por razones de una aplicación específica; entonces, la tensión de diseño σc (crítica) debe ser

(Ec. 9)

Si el nivel de tensión y la tenacidad a la fracrua son prefijadas por la situación de diseño, entonces el tamaño de grieta que se puede permitir es, ac, es:

(Ec. 10)

Se han desarrollado ténicas de ensayos no destructivas (NDT) que permiten la detección y la medida de grietas tanto internas como superficiales. Tales métodos son utilizados para evitar fracturas catastróficas mediante el examen periódico de los componentes parar detectar defectos que tengan dimensiones próximas al tamaño crítico.

Bibliografía:

Introducción a la Ciencia e Ingeniería de Materiales. William D. Callister Jr. Ed. Reverté, S.A.

Mecánica de la Fractura. Federico París. Vladislav Mantic. Depto. de Mecánica de los Medios Contínuos y Teoría de Estructuras. Escuela Técnica Superior de Ingenieros. Universidad de Sevilla.

Diseño y Construcción de Uniones Soldadas. J.Cañas, F. París, R. Picón. Grupo de Elasticidad y Resistencia de Materiales. Universidad de Sevilla.

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4 comentarios leave one →
  1. CALLEJA, Carlos Alberto permalink
    30 mayo 2012 16:52

    Muy bueno el artículo, Es muy didáctico.

  2. Sergio permalink
    25 julio 2012 12:29

    Muy bueno el artículo, ¿de dónde son las imágenes? Gracias!

  3. Eugenio permalink
    25 enero 2013 17:39

    Muy buenas.

    Puede que me equivoque, pero creo que hay un error o al menos el matiz que yo entiendo no es el real.

    Dice usted que la tenacidad de fractura aumenta con el afino de grano, creo que esto no es así. Los materiales mas ductiles tienen mayor tenacidad de fractura, y en el afino de grano el material siempre pierde ductilidad.

    También decirle que las cerámicas, que tienen baja ductilidad, para mejorar su tenacidad de fractura siempre queremos granos mas grandes, sean cerámicas avanzadas o convenvionales. Ya que las ceramicas avanzadas, que hemos conseguido que la grieta sea transgranular, si tiene granos grandes tendrá mas mecanismos de aumento de tenacidad de fractura por grano. Y las ceramicas convencionales, cuyas grietas son intergranulares, al tener granos grandes la grieta gastará mas energía en propagarse.

    Un saludo.

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